Çarpanlar ve Katlar 8. sınıf Matematik

 

BİR POZİTİF TAM SAYININ POZİTİF ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)

Her doğal sayı, iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bir sayının çarpanı aynı zamanda bölenidir.
Bir doğal sayıyı tam olarak bölen sayma sayılarına o sayının bölenleri denir.

Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına tam olarak bölünür.

Örnek: 12 sayısının çarpanlarını bulalım.
1.12=12
2.6=12
3.4=12
olduğundan 12 sayısının çarpanları 1,2,3,4,6 ve 12 dir.

Örnek: 30 sayısının çarpanlarını bulalım.
1.30=30
2.15=30
3.10=30
5.6=30
olduğundan 30 sayısının çarpanları 1,2,3,5,6,10,15 ve 30 dur.

ASAL SAYILAR

1 ve kendini dışında pozitif çarpanı olmayan sayılara asal sayılar denir.

Örnek: Aşağıda bazı verilen sayıların asal olup olmadığını inceleyelim.
1 sayısının çarpanı 1 dir. Yani asal sayı değildir. (1 tane çarpanı olduğu için)
2 sayısının çarpanları 1 ve 2 dir. Asaldır.
3 sayısının çarpanları 1 ve 3 tür. Asaldır.
4 sayısının çarpanları 1,2 ve 4 tür. Asal değildir. (1 ve kendisi dışında çarpanı vardır)
5 sayısının çarpanları 1 ve 5 tir. Asaldır.
Şeklinde örnekleri çoğaltabiliriz.

1 den 100’e kadar olan Asal Sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 dir.

Buna göre;

• En küçük asal sayı 2 dir.
• 2 den başka çift asal sayı yoktur.
• 0 ve 1 asal sayı değildir.
• Negatif sayılarda asallık yoktur.

ASAL ÇARPANLAR

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. 1 den büyük tüm sayılar asal çarpanlarının çarpımı şeklinde (üslü sayılardan faydalanarak) yazılabilir.
Bir A sayısının asal çarpanları a,b ve c olsun bunların kuvvetleri x,y ve z olsun. A = a^x · b^y · c^z şeklinde ki gösterim asal çarparının çarpımı şeklinde yazmak demektir.

Örnek: 20 sayısını çarpanları 1,2,4,5,10 ve 20 dir. Bunlardan 2 ve 5 asal çarpanlardır. Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde 20= 2²·5 şeklinde yazılır.

Asal çarpanları bulabilmek için tüm çarpanları bulmaya gerek yoktur. Bunun için 2 kural vardır. Çarpan Ağacı ve Asal Çarpan Algoritması’dır.

Çarpan Ağacı: Bir şema çizilerek pozitif bir tam sayının asal çarpanları elde edilebilir bu yönteme çarpan ağacı yöntemi denir.

Bu yöntemle çarpanları bulmakta kolaydır.

Örnek: 24 sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını çarpan ağacı yöntemini kullanarak bulalım.

24 sayısının çarpanları sırayla 1,2,3,4,6,8,12,24 tür.
Asal çarpanları son sıradaki asal sayılardır yani 2 ve 3 tür.
Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde gösterimi 24 = 2³·3 şeklindedir.

Asal Çarpan Algoritması: Bir sayının yanına dikey çizgi çizilerek en küçük asal sayıdan başlayıp bölme yoluyla 1 sayısı elde edilinceye kadar yapılan işleme denir.

Bu yöntemle asal çarpanları bulmak ve çarpımları şeklinde yazmak daha kolaydır.

Örnek: 24 sayısının asal çarpanlarını ve çarpımları şeklinde yazmayı asal çarpan algoritmasını kullanarak bulalım.

24=2·2·2·3 şeklindedir bunu düzenlersek
24 = 2³·3 şeklinde olacaktır.

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) denir.

a ve b sayılarının ortak bölenleri EBOB(a,b) veya (a,b)_ebob şeklinde gösterilir.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
12 sayısının bölenleri 1,2,3,4,6,12
18 sayısının bölenleri 1,2,3,6,9,18 dir.
Ortak bölenler: 1,2,3 ve 6 dır.
Ortak bölenlerinin en büyüğü 6 dır. Yani EBOB(12,18)=6 dır.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) denir.

a ve b sayılarının ortak bölenleri EKOK(a,b) veya (a,b)_ekok şeklinde gösterilir.

Örnek: 9 ve 12 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
9 sayısının katları 9,18,27,36,45,54,63,72,81,…
12 sayısının katları 12,24,36,48,60,72,84,… şeklindedir.
Ortak katlar: 36, 72, …
Ortak katların en küçüğü 36 dır. Yani EKOK(9,12)=36 dır.

NOT: Herhangi iki sayının EBOB ve EKOK’larının çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir.
EBOB(a,b) · EKOK(a,b) = a · b

ARALARINDA ASAL SAYILAR

1’den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örnek: 4 ve 9 sayıları aralarında asal mıdır?
4 ün bölenleri 1,2,4
9 un bölenleri 1,3,9
bu iki sayının bölenlerinden ortak olan yalnız 1 dir. yani 4 ve 9 aralarında asaldır.

Örnek: 12 ve 27 aralarında asal mıdır?
12 nin bölenleri 1,2,3,4,6,12
27 nin bölenleri 1,3,9,27
bu iki sayının bölenlerinden ortak olanlar 1 ve 3 tür yani 1 dışında ortak bölenleri olduğu için 12 ve 27 aralarında asal değildir.

→Aralarında asal sayıların asal olması gerekmez.
→1 sayısı her sayı ile aralarında asaldır.
→Ardışık sayılar aralarında asaldır.
→Asal sayılar aralarında asaldır.
→Aralarında asal sayıların EBOB’u 1 dir.
→Aralarında asal sayıların EKOK’u ise bu sayıların çarpımına eşittir.

A ve B sayıları aralarında asal pozitif tam sayılar ise,
EBOB(A, B) = 1
EKOK(A, B) = A · B olur.